Teoria degli Insiemi – 1. Concetti di Base

Definizione d.1.1. In matematica si dice INSIEME qualunque collezione di oggetti per il quale sia sempre possibile decidere se un generico oggetto appartiene o meno alla collezione stessa. Indicheremo gli inisemi con le lettere maiuscole dell’alfabeto.

Definizione d.1.2. Si dice che A è contenuto in B (A ⊆ B) se ogni elemento di A è anche elemento di B, cioè A ⊆ B se ∀ x ∈ A, x ∈ B.

Definizione d.1.3. Si dice che A è strettamente contenuti in B (A ⊂ B) se ogni elemento di A è anche elemento di B e esiste almeno un elemento di B che non è elemento di A, cioè A ⊂ B se ∀ x ∈ A, x ∈ B ∧ ∃ y ∈ B, y ∉ A.

Definizione d.1.4. A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Proprietà p.1.1. A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

Proprietà p.1.2. A = B ∧ B = C ⇒ A = C.

Definizione d.5. Si dice insieme vuoto ( ∅ ) ogni insieme privo di elementi.

Teorema t.1.1 Ogni iniseme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

Dimostrazione 1.1. Siano A e B insiemi, A vuoto. Per assurdo A ⊈  B. Allora ∃ x ∈ A tale che x ∉ B. Ma A non ha elementi e questo porta all’assurdo.

Teorema t.1.2. Esiste un solo insieme vuoto.

Dimostrazione 1.2. Per assurdo siano V e V’ due inisemi vuoti diversi.
Se consideriamo per il teorema t.1.1 abbiamo che V ⊆ V’, e per lo stesso teorema V’ ⊆ V. Ma allora V e V’ sono uguali.

Definizione d.1.8. L’unione tra due inisemi A e B (A ∪ B) è un iniseme costituto da gli elementi di A e di B.

Definizione d.1.7. L’intersezione tra due insiemi A e B (A ∩ B) è un insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Definizione d.1.8. L’insieme differenza A \ B è dato dagli elementi che che appartengono ad A ma non a B.

Definizione d.1.9. L’insieme complementare di A ( A’ ) è dato da tutti gli elementi che non appartengono ad A.

Proprietà p.1.3.
A ∩ B ⊆ A
A ∩ B ⊆ B
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇒ C ⊆ A ∩ B
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅
A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B

A ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇒ A ∪ B ⊆ C
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
(A ∪ B = A ∪ C) ∧ (A ∩ B = A ∩ C) ⇒ B = C

A \ B = ∅ ⇔ A ⊆ B
A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅
(A’)’ = A
A ∪ A’ = M (insieme universo)
A ∩ A’ = ∅

Definizione d.1.10. Si dice insieme delle parti di A, P(A) l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A.

L’insieme delle parti non è mai vuoto. P(∅)= {∅} che ha un elemento.