Strutture Algrebriche – 3. Gruppi, Anelli, Corpi e Campi

I GRUPPI

Definizione 3.d.1. Un gruppoide [G *] su dice GRUPPO se è un semigruppo non vuoto tutti i cui elementi sono biettivivi.

Osservazione 3.o.1. Un gruppoide [G *] è un gruppo se e solo se

1. è associativo
2. ha elemento neutro u
3. ogni elemento è simmetrizzabile

Definizione 3.d.2. Un gruppo si dice abeliano se la sua operazione è commutativa

PRODOTTI DIRETTI

Definizione 3.d.3. Siano [G1 *] e [G2 *] gruppoidi. Si dice prodotto diretto di G1 e G2 il gruppoide G = G1 X G2 ove <g1, g2> X <g1′, g2′> = <g1*g2, g1’*g2′>

Strutture Algebriche – 2. Omomorfismi

Definizione d.2.1. Si dice omomorfismo da [G *] a [G’ *] ogni funzione f: G → G’ tale che per ogni a, b in G si ha f(ab) = f(a)f(b).

Osservazione. [G * ], [G’ * ] gruppoidi. Sia f: G → G’ omomorfismo. Sia e in G idempotente, allora f(e) = f(e*e) = f(e)*f(e).

Attenzione: Dati [G * ], [G’ * ] gruppoidi non è detto che esista sempre almeno un omomorfismo!

Si dice MONOMORFISMO un omomorfismo iniettivo, EPIMORFISMO se suriettivo, ISOMORFISMO se biettivo, ENDOMORFISMO se da [G*] in sé, AUTOMORFISMO se è in isomorfismo da [G*] in sé.

Strutture Algebriche – 1. Gruppoidi

Definizione1.d.1. Si dice OPERAZIONE interna binaria in un insieme A ogni funzione f: AxA → A.

Definizione 1.d.2. Si dice GRUPPOIDE di sostegno G la struttura [G *] ove * è un’operazione su G.

IDENTITA’ DI UN GRUPPOIDE.

Definizione 1.d.3. Sia [G .] gruppoide. Un’identità è una uguaglianza fra espressioni che è verificata per ogni elemento.

Definizione 1.d.4. [G ° ] gruppoide si dice SEMIGRUPPO se l’operazione ° è associativa.

Identità

Commutativa : Per ogni a, b in G a°b = b°a

Associativa: Per ogni a,b,c in G a°(b°c) = (a°b)°c

Identità con due operazioni

[G + * ] bigruppoide,

Distributiva a sinistra: x*(y+z) = x*y + x*z

Distributiva a destra: (x + y)*z = x*z + y*z

Elementi particolari di un gruppoide

Teoria degli insiemi – 2.Relazioni

Definizione d.2.1. Dati due insiemi A e B si dice Prodotto Cartesiano A X B l’insieme dato da tutte le coppie ordinate (a,b) con a in A e b in B

Definizione d.2.2. Diagonale di A² : Δ = {(x,x) ∈ A² | x ∈ A}

Proprietà p.2.1
A x B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅
A x B = B x A ⇔ A = B ∨ A x B = ∅
A ⊆ C ∧ B ⊆ D ⇒ A x B ⊆ C x D
A x B ⊆ C x D & A x B ≠ ∅ ⇒ A ⊆ C ∧ B ⊆ D

Definizione d.2.3. Si dice relazione ogni struttura costituita da più inisemi.
Relazione = [insieme di base 1, insieme di base 2, grafico ⊆ dominio x codominio]
R = [A, B, R ⊆ A x B]

Se A = B si parla di relazione su A.

Definizione d.2.4. Si dice relazione diagonale su A la δ = [A; Δ ⊆ A²] dove Δ è la diagonale definita in d.2.3.

Definizione d.2.5. Data R = [A, B, R ⊆ A x B] si dice opposta di R la relazione Ro = [A, B, Ro ⊆ B x A]

RELAZIONI SU UN INSIEME.
Sia R = [A, R ⊆ A²]. R si dice

Teoria degli Insiemi – 1. Concetti di Base

Definizione d.1.1. In matematica si dice INSIEME qualunque collezione di oggetti per il quale sia sempre possibile decidere se un generico oggetto appartiene o meno alla collezione stessa. Indicheremo gli inisemi con le lettere maiuscole dell’alfabeto.

Definizione d.1.2. Si dice che A è contenuto in B (A ⊆ B) se ogni elemento di A è anche elemento di B, cioè A ⊆ B se ∀ x ∈ A, x ∈ B.

Definizione d.1.3. Si dice che A è strettamente contenuti in B (A ⊂ B) se ogni elemento di A è anche elemento di B e esiste almeno un elemento di B che non è elemento di A, cioè A ⊂ B se ∀ x ∈ A, x ∈ B ∧ ∃ y ∈ B, y ∉ A.

Definizione d.1.4. A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Proprietà p.1.1. A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

Proprietà p.1.2. A = B ∧ B = C ⇒ A = C.

Definizione d.5. Si dice insieme vuoto ( ∅ ) ogni insieme privo di elementi.

Teorema t.1.1 Ogni iniseme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

Dimostrazione 1.1. Siano A e B insiemi, A vuoto. Per assurdo A &nsube;  B. Allora ∃ x ∈ A tale che x ∉ B. Ma A non ha elementi e questo porta all’assurdo.

Babbo Natale esiste? Dimostriamolo

Questa dimostrazione l’ho trovata in giro per il web e l’ho rubacchiata… è molto carina

Meglio specificare all’inizio: tale dimostrazione si basa solo sulla meccanica classica e non prende in considerazione gli effetti relativistici sul moto dei corpi a velocità elevate, in caso contrario avrei dovuto tener conto che:

• l’elevata velocità comporta una dilatazione del tempo a disposizione
• la massa inerziale del sistema, composto da slitta e grande carico di regali, più la massa di Babbo Natale (che secondo una tradizione di lunga data è molto sovrappeso), comportano una deformazione dello spazio-tempo tale da rendere non validi i calcoli basati sulla meccanica classica.

Veniamo alla dimostrazione:

1) Nessuna specie conosciuta di renna può volare. Ma ci sono 300.000 specie di organismi viventi che devono ancora essere classificati, e ANCHE se la maggior parte di essi sono rappresentati da insetti e batteri, questo NON significa ASSOLUTAMENTE che le renne volanti non esistano. Anche se, per il momento è SOLO Babbo Natale ad averle viste.

sorry sorry..

scusate.. causa impegni di varia natura e soprattutto funerale del mio portatile l’aggiornamento di questo blog è andato un pò a farsi friggere.. spero di tornare al più presto a regime!
See u soon

Il ruolo della televisione nel caso di Sarah Scazzi

Tanto, forse troppo, si è visto, letto e scritto sul caso della povera Sarah Scazzi. E, almeno per ora, ancora tanto si vedrà, leggerà e scriverà.

Non starò certo qua a raccontare fatti di cronaca: per questo ci sono i giornalisti. Senza contare che tutti noi già sappiamo i dettagli di questa atroce vicenda. Non voglio nemmeno esporre una mia tesi su chi sia effettivamente colpevole,  o su chi abbia coperto chi, nonostante abbia una mia tesi ben precisa.

L’EFFETTO FARFALLA

Avrete sicuramente sentito parlare dell’effetto farfalla, per il quale un battito d’ali di una farfalla in Sud America possa causare un uragano in Europa.
Questo è solo un esempio, che serve per introdurre la teoria del caos.
Laplace postulò che se si conoscesse la posizione esatta di tutti gli elementi dell’universo, la loro esatta velocità, e le forze che agiscono su ogni elementi in un preciso istante, allora si potrebbero determinare i valori di queste grandezze in un momento successivo.
Laplace postulò anche che se invece di conoscere gli esatti valori (cosa abbastanza impossibile) di queste grandezze, se ne conoscesse un’approssimazione abbastanza accurata delle stesse il risultato finale non sarebbe tanto diverso.
Laplace si sbagliava.
Infatti non sempre una piccola variazione delle condizioni iniziali del sistema portava a un piccolo discostamento del risultato del sistema in un momento successivo.
L’avvenimento più ecclatante sull’argomento fu quando circa cinquant’anni fa un metereologo stava elaborando al computer i dati per arrivare alla creazione delle mappe di previsione meteo.
Alla seconda elaborazione degli stessi dati, per suo grande stupore, ottenne risultati totalmente diversi da quelli ottenuti precedentemente. Ma come? Con gli stessi dati iniziali due previsioni meteo totalmente diversi? Com’era possibile?
Ricontrollando i dati si accorse che una differenza tra i dati inseriti nelle due elaborazioni c’era: per la prima elaborazione aveva utilizzato sei cifre decimali, mentre nella seconda solo tre…

IL NUMERO 666

Il numero 666 è quello che nell’immaginario collettivo incute più “timore”: questo numero infatti è quello associato alla Bestia.
Questo perchè in un passo dell’Apocalisse si può leggere
“Una mostruosa bestia infetterà la chiesa: questa bestia sarà un uomo il cui nome conterrà il numero seicentosessantasei”.
E da qui è partito il “toto-bestia”.
Inizialmente si pensò che l’uomo della profezia fosse Nerone, noto persecutore dei cristiani. Poi negli anni si susseguirono molteplici interpretazioni che man mano si discostarono dal contesto originario in cui venne scritto il testo, tant’è che oggi è convinzione comune che il 666 sia il numero di Satana, nonostante nel testo ci si riferisca esplicitamente ad un uomo.
La paura che incute questo numero è più diffusa di quanto si pensi: forse non molti lo sanno, ma in grecia ci furono delle sommosse da parte di manifestanti anni fa quando si seppe che i numeri delle carte d’identità di tutti i cittadini dell’unione europea sarebbero dovuti cominciare proprio con 666.
Indipendentemente da profezie e da timori, questo numero è molto interessante dal punto di vista matematico: esso infatti è uguale alla somma dei quadrati dei primi 7 numeri primi
4+9+25+49+121+169+289 = 666

Il 666 è anche un numero triangolare (il trentaseiesimo, 36, tre sei, sei sei sei O_o) poichè
666 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26
+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36
Un’altra curiosa proprietà è la seguente:
666 è la somma palindroma dei cubi delle prime 6 cifre
1+8+27+64+125+216+125+64+27+8+1
(e il termine centrale di questa somma è proprio 6x6x6..)

Dopo questo breve excursus su alcune interessanti proprietà matematiche che soddisfa questo numero pieno di mistero, se ritorniamo all’interpretazione della pagina della Bibbia in cui viene nominato abbiamo che con procedimenti alquanto discutibili venne attribuito ad Hitler, Mussolini e più recentemente anche a Bill Gates e Silvio Berlusconi.
Ma tutte queste interpretazioni, la maggior parte ricavate abbinando ad ogni lettera dell’alfabeto il corrispondente numero posizionale, sono prive di significato: basta un pò di pazienza e qualche interpretazione personale che il 666 può essere attribuito praticamente a chiunque.

Concludo però con questa bomba: il testo originale dell’Apocalisse di Giovanni è stato recentemente analizzato da un’università americana con sofisticate tecnologie.. ebbene si è arrivati alla conclusione che nel testo non ci sia scritto seicentosessantasei bensì seicentosedici (616) ed ecco che tutti i ragionamenti fatti finora per individuare la bestia si dissolvono in una bolla di sapone…