Definizione d.2.1. Si dice omomorfismo da [G *] a [G’ *] ogni funzione f: G → G’ tale che per ogni a, b in G si ha f(ab) = f(a)f(b).
Osservazione. [G * ], [G’ * ] gruppoidi. Sia f: G → G’ omomorfismo. Sia e in G idempotente, allora f(e) = f(e*e) = f(e)*f(e).
Attenzione: Dati [G * ], [G’ * ] gruppoidi non è detto che esista sempre almeno un omomorfismo!
Si dice MONOMORFISMO un omomorfismo iniettivo, EPIMORFISMO se suriettivo, ISOMORFISMO se biettivo, ENDOMORFISMO se da [G*] in sé, AUTOMORFISMO se è in isomorfismo da [G*] in sé.
Definizione d.2.2. [G * ], [G’ * ] gruppoidi si dicono isomorfi se e solo se esiste un isomorfismo da [G * ] in [G’ * ] .
COMPORTAMENTI DEGLI OMOMORFISMI SUGLI ELEMENTI.
- Se [G *] ha unità (sx o dx) allora f(u) è unità (sx o dx) dell’immagine di f.
- Se [G *] ha zero (sx o dx) allora f(z) è zero (sx o dx) dell’immagine di f.
- Se f è isomorfismo da [G *] in [G’ *] allora l’immagine di f coincide con G’, dati u unità di G e z zero di G allora f(u) è l’unità di G’ e f(z) è zero di G’ (dx o sx).
- Se [G *] ha unità u e x elemento di G ha simmetrico sinistro o destro allora f(x) ha simmetrico sinistro o destro.
Osservazioni.
- e1 idempotente su [G1 *], f: G → G1, g → e1 (f costante sull’idempotente) è omomorfismo.
- Sia f: G → G1, h: G1 → G2 , f e g omomorfismi, allora h ° f: G → G2 è omomorfismo.
- Se f: G → G1 isomorfismo, allora la sua inversa è anch’esso isomorfismo.
- La relazione “essere isomorfi” sulla classe dei gruppoidi è di equivalenza.
Definizione d.2.3. Si dice Gruppoide Astratto ogni classe di gruppoidi equivalenti rispetto all’essere isomorfi.
Definizione d.2.4. Sia [G *] gruppoide, e R congruenza su G. Sia quindi [G/R *]il risultante gruppoide quoziente. La funzione sR: G → G/R, x → [x] è un epimorfismo. Questo epimorfismo si dice suriezione canonica.
PRIMO TEOREMA DELL’OMOMORFISMO
Siano [G *] e [G’ *] gruppoidi. Dato f: G → G’ omomorfismo, dove l’immagine di f è contenuta in G’, allora abbiamo che
- Per ogni sottoinsieme A di G, f(A) è contenuta in G’, e per ogni sottoinsieme B di G’ allora f°(B) è contenuto in G
- Rf è congruenza di [G *] (Kerf)
- [ G/Kerf *] è isomorfa a [Imf *]
SECONDO TEOREMA DELL’OMOMORFISMO
Sia [G *] gruppoide, R congruenza, allora sR è epimorfismo e KersR = R
Inoltre sR: G → G/R, g → [g] è un epimorfismo
CARATTERIZZAZIONE DELLE CONGRUENZE
Le congruenze di [G *] sono tutte e sole le equivalenze di G che sono nuclei di un qualche omomorfismo da [G *] a un qualche [G’ *]
TEOREMA DELLA CARATTERIZZAZIONE DEI MONOMORFISMI
[G *] e [G’ *] gruppoidi, f: G → G’ omomorfismo. Allora f è monomorfismo se e solo che Kerf è la diagonale.
TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE DEGLI OMOMORFISMI
[G *] e [G’ *] gruppoidi, f: G → G’ omomorfismo. Allora esiste uno e uno solo monomorfismo i che va da G/Kerf → G’
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